Question

拋物線C的方程為y=ax²（a＜0），過拋物線C上一點P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率為k₁，k₂的兩條直線分別交拋物線C于
A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）兩點（P，A，B三點互不相同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（Ⅱ）設直線AB上一點M，滿足

BM

=λ

MA

，證明線段PM的中點在y軸上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線C的方程y=ax²（a＜0）得，焦點坐標為(0，

1

4a

)，準線方程為y=-

1

4a

．
（Ⅱ）設直線PA的方程為y-y₀=k₁（x-x₀），直線PB的方程為y-y₀=k₁（x-x₀）．點P（x₀，y₀）和點A（x₁，y₁）的坐標是方程組

y-y0=k1(x-x0)① y=ax2②

的解．于是x1+x0=

k1

a

，故x1=

k1

a

-x0，又點P（x₀，y₀）和點B（x₂，y₂）的坐標是方程組

y-y0=k2(x-x0)④ y=ax2⑤

的解．于是x2+x0=

k2

a

，故x2=

k2

a

-x0．由此能夠證明線段PM的中點在y軸上．

解答：解：（Ⅰ）由拋物線C的方程y=ax²（a＜0）得，焦點坐標為(0，

1

4a

)，準線方程為y=-

1

4a

．
（Ⅱ）證明：設直線PA的方程為y-y₀=k₁（x-x₀），直線PB的方程為y-y₀=k₁（x-x₀）．
點P（x₀，y₀）和點A（x₁，y₁）的坐標是方程組

y-y0=k1(x-x0)① y=ax2②

的解．
將②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，于是x1+x0=

k1

a

，故x1=

k1

a

-x0③
又點P（x₀，y₀）和點B（x₂，y₂）的坐標是方程組

y-y0=k2(x-x0)④ y=ax2⑤

的解．
將⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x₀-y₀=0．于是x2+x0=

k2

a

，故x2=

k2

a

-x0．
由已知得，k₂=-λk₁，則x2=-

λ

a

k1-x0．　�、�
設點M的坐標為（x_M，y_M），由

BM

-λ

MA

，則xM=

x2+λx1

1+λ

．
將③式和⑥式代入上式得xM=

-x0-λx0

1+λ

=-x0，即x_M+x₀=0．
∴線段PM的中點在y軸上．

點評：本題考查拋物線的焦點坐標和準線方程的求法，證明線段PM的中點在y軸上．解題時要熟練掌握拋物線的性質，認真審題，合理地進行等價轉化．