【題目】(本題分)
已知函數(shù),若存在,使得,則稱(chēng)是函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),設(shè)二次函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng), 時(shí),求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).
(Ⅱ)若對(duì)于任意實(shí)數(shù),函數(shù)恒有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅲ)在()的條件下,若函數(shù)的圖象上, 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),且直線是線段的垂直平分線,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)(3)實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【解析】試題分析:Ⅰ)把, 代入方程f(x)=x,解出x即可;
(Ⅱ)方程f(x)=x恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即方程ax2+(b+1)x+b﹣2=x恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則 對(duì)任意b恒成立,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得a的不等式;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)的兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)為x1,x2,則A(x1,x1),B(x2,x2),且x1,x2是ax2+bx+b﹣2=0的兩個(gè)不等實(shí)根,則,由題意可得k=﹣1,且AB中點(diǎn)在直線上,代入可得a,b的關(guān)系式,分離出b后根據(jù)a的范圍可得b的范圍;
試題解析:
(Ⅰ)當(dāng), 時(shí), ,
由得,解得或.
∴函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為, .
(Ⅱ)∵對(duì)于任意實(shí)數(shù),函數(shù)恒有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn),
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù),方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
即方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∴,即對(duì)任意實(shí)數(shù), 恒成立,
∴,
解得.
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)為, ,
則, ,且, 是的兩個(gè)不等實(shí)根,
所以,直線的斜率為,線段中點(diǎn)坐標(biāo)為,
∵直線是線段的垂直平分線,
∴,且在直線上,
即, ,
∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
又∵,
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若且,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)對(duì)定義域D內(nèi)的每一個(gè)x1,都存在唯一的x2∈D,使得成立,則稱(chēng)f (x)為“自倒函數(shù)”.給出下列命題:
①是自倒函數(shù);
②自倒函數(shù)f (x)可以是奇函數(shù);
③自倒函數(shù)f (x)的值域可以是R;
④若都是自倒函數(shù),且定義域相同,則也是自倒函數(shù).
則以上命題正確的是_______(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一次珠寶展覽會(huì)上,某商家展出一套珠寶首飾,第1件首飾是1顆珠寶,第2件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成的如圖1所示的正六邊形,第3件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成的如圖2所示的正六邊形,第4件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成的如圖3所示的正六邊形,第5件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成的如圖4所示的正六邊形,以后每件首飾都在前一件的基礎(chǔ)上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構(gòu)成更大的正六邊形,依此推斷:
(1)第6件首飾上應(yīng)有________顆珠寶;
(2)前n(n∈N*)件首飾所用珠寶總顆數(shù)為________.(結(jié)果用n表示)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017·成都高中畢業(yè)第一次診斷)已知雙曲線 (a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,雙曲線上一點(diǎn)P滿足PF2⊥x軸.若|F1F2|=12,|PF2|=5,則該雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,生產(chǎn)1車(chē)皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4噸,硝酸鹽18噸;生產(chǎn)1車(chē)皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸,硝酸鹽15噸.現(xiàn)庫(kù)存磷酸鹽10噸,硝酸鹽66噸,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料.如果生產(chǎn)1車(chē)皮甲種肥料產(chǎn)生的利潤(rùn)為12 000元,生產(chǎn)1車(chē)皮乙種肥料產(chǎn)生的利潤(rùn)為7 000元,那么可產(chǎn)生的最大利潤(rùn)是( )
A. 29 000元 B. 31 000元 C. 38 000元 D. 45 000元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出集合.
(1)若,求證:函數(shù);
(2)由(1)分析可知, 是周期函數(shù)且是奇函數(shù),于是張三同學(xué)得出兩個(gè)命
題:命題甲:集合中的元素都是周期函數(shù).命題乙:集合中的元素都是奇函數(shù). 請(qǐng)對(duì)此
給出判斷,如果正確,請(qǐng)證明;如果不正確,請(qǐng)舉反例;
(3)若,數(shù)列滿足: ,且 ,數(shù)列的前項(xiàng)
和為,試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)、,使得任意的,都有成立,若
存在,求出、的取值范圍,若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=4x和直線l:x=-1.
(1)若曲線C上存在一點(diǎn)Q,它到l的距離與到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離相等,求Q點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)過(guò)直線l上任一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)記為A,B,求證:直線AB過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)若曲線存在斜率為-1的切線,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)求的單調(diào)區(qū)間;
(III)設(shè)函數(shù),求證:當(dāng)時(shí), 在上存在極小值.
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