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【題目】已知直線l:4x+3y+10=0,半徑為2的圓C與l相切,圓心C在x軸上且在直線l的右上方

(1)求圓C的方程;
(2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A,B兩點(A在x軸上方),問在x軸正半軸上是否存在定點N,使得x軸平分∠ANB?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:設圓心C(a,0)(a>﹣ ),

∵直線l:4x+3y+10=0,半徑為2的圓C與l相切,

∴d=r,即 =2,

解得:a=0或a=﹣5(舍去),

則圓C方程為x2+y2=4;


(2)解:當直線AB⊥x軸,則x軸平分∠ANB,

若x軸平分∠ANB,則kAN=﹣kBN,即 + =0,

整理得:2x1x2﹣(t+1)(x1+x2)+2t=0,即 +2t=0,

解得:t=4,

當點N(4,0),能使得∠ANM=∠BNM總成立.


【解析】1、根據直線與圓相切d=r可求得a=0即得結果。
2、由題意當直線AB⊥x軸,則x軸平分∠ANB,即得kAN=﹣kBN,可求出關于x的一元二次方程,利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積代入上式可得到t=4,即得點N(4,0)。

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