Question

15．在數(shù)列{a_n}中，a₂=$\frac{2}{3}$．
（1）若數(shù)列{a_n}滿足2a_n-a_n+1=0，求a_n；
（2）若a₄=$\frac{4}{7}$，且數(shù)列{（2n-1）a_n+1}是等差數(shù)列，求數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿足2a_n-a_n-1=0，a₂=$\frac{2}{3}$．可得a_n≠0，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n．
（2）數(shù)列{（2n-1）a_n+1}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由a₄=$\frac{4}{7}$，a₂=$\frac{2}{3}$．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得d．進(jìn)而可得a_n．再利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足2a_n-a_n-1=0，a₂=$\frac{2}{3}$．
∴a_n≠0，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，∴a₁=$\frac{1}{3}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$\frac{1}{3}×{2}^{n-1}$．
（2）數(shù)列{（2n-1）a_n+1}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∵a₄=$\frac{4}{7}$，a₂=$\frac{2}{3}$．
∴$7×\frac{4}{7}$+1=$3×\frac{2}{3}$+1+2d，解得d=1．
∴（2n-1）a_n+1=3×$\frac{2}{3}$+1+（n-2）×1，解得a_n=$\frac{n}{2n-1}$．
∴$\frac{n}{{a}_{n}}$=2n-1．
∴數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n=1+3+…+（2n-1）
=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．