19.已知曲線Γ上的點(diǎn)到F1(-1,0)和F2(1,0)的距離之和為定值4.
(1)求曲線Γ的方程;
(2)過Q(4,0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,若以AB為直徑的圓恰好過橢圓的右焦點(diǎn),求直線l的方程.

分析 (1)依題意:設(shè)P曲線Γ上的任意一點(diǎn),利用橢圓的定義,判斷P的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4的橢圓.求出a,b,即可得到橢圓的方程.
(2)設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理以及判別式,結(jié)合以AB為直徑的圓恰好過橢圓的右焦點(diǎn),求解m的值,即可求解直線方程.

解答 解:(1)依題意:設(shè)P曲線Γ上的任意一點(diǎn),則|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|=2,
所以P的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4的橢圓.
$a=2,c=1,b=\sqrt{3}$,則曲線方程:$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$.…(4分)  
(2)過Q(4,0)的直線l設(shè)為:x=my+4,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=my+4\end{array}\right.$,得∴(3m2+4)y2+24my+36=0,
所以$\left\{\begin{array}{l}△>0\\{y_1}+{y_2}=\frac{-24m}{{3{m^2}+4}}\\{y_1}{y_2}=\frac{36}{{3{m^2}+4}}\end{array}\right.$…(6分),
以AB為直徑的圓恰好過橢圓的右焦點(diǎn),F(xiàn)(1,0).
A,B坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=0$…(7分)
即$({x_1}-1)({x_2}-1)+{y_1}{y_2}\;=({m^2}+1){y_1}{y_2}+3m({y_1}+{y_2})+9=0$…(8分)
∴$\frac{{36({m^2}+1)}}{{3{m^2}+4}}+\frac{{-72{m^2}}}{{3{m^2}+4}}+9=0$…(9分)   解得:$m=±2\sqrt{2}$…(10分)
此時(shí)△=(24m)2-4×36(3m2+4)=144m2-576=576>0…(11分)
所以所求的直線方程為:$x±2\sqrt{2}y-4=0$…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法,橢圓的定義的應(yīng)用,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及設(shè)而不去方法的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)從樣本中留言不足50條的網(wǎng)友中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到一名四川省網(wǎng)友的概率;
(2)規(guī)定留言不少于60條為“強(qiáng)烈關(guān)注”,否則為“一般關(guān)注”.
網(wǎng)友強(qiáng)烈關(guān)注一般關(guān)注合計(jì)
重慶市a=b=
四川省c=d=
合計(jì)
完成上表,并判斷是否有90%以上的把握認(rèn)為關(guān)注程度與網(wǎng)友所在地區(qū)有關(guān)?
附:臨界值表及參考公式:K2=$\frac{{n{{({ad-bc})}^2}}}{{({a+b})({c+d})({a+c})({b+d})}}$,n=a+b+c+d.
P(K2≥x00.150.100.050.0250.0100.0050.001
x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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