Question

19．已知曲線Γ上的點到F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離之和為定值4．
（1）求曲線Γ的方程；
（2）過Q（4，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，若以AB為直徑的圓恰好過橢圓的右焦點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）依題意：設(shè)P曲線Γ上的任意一點，利用橢圓的定義，判斷P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點，長軸長2a=4的橢圓．求出a，b，即可得到橢圓的方程．
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及判別式，結(jié)合以AB為直徑的圓恰好過橢圓的右焦點，求解m的值，即可求解直線方程．

解答 解：（1）依題意：設(shè)P曲線Γ上的任意一點，則|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2，
所以P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點，長軸長2a=4的橢圓．
$a=2，c=1，b=\sqrt{3}$，則曲線方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）  
（2）過Q（4，0）的直線l設(shè)為：x=my+4，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=my+4\end{array}\right.$，得∴（3m²+4）y²+24my+36=0，
所以$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\{y_1}+{y_2}=\frac{-24m}{{3{m^2}+4}}\\{y_1}{y_2}=\frac{36}{{3{m^2}+4}}\end{array}\right.$…（6分），
以AB為直徑的圓恰好過橢圓的右焦點，F(xiàn)（1，0）．
A，B坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=0$…（7分）
即$（{x_1}-1）（{x_2}-1）+{y_1}{y_2}\;=（{m^2}+1）{y_1}{y_2}+3m（{y_1}+{y_2}）+9=0$…（8分）
∴$\frac{{36（{m^2}+1）}}{{3{m^2}+4}}+\frac{{-72{m^2}}}{{3{m^2}+4}}+9=0$…（9分）   解得：$m=±2\sqrt{2}$…（10分）
此時△=（24m）²-4×36（3m²+4）=144m²-576=576＞0…（11分）
所以所求的直線方程為：$x±2\sqrt{2}y-4=0$…（12分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，橢圓的定義的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及設(shè)而不去方法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．