Question

17．已知函數(shù)f（x）=cosx+xsinx-m，x∈[-π，π]，若f（x）有4個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為（　　）

• A． （-1，1）
• B． （1，$\frac{π}{2}$）
• C． （0，$\frac{π}{2}$）
• D． （-1，$\frac{π}{2}$）

Answer 1

分析 令g（x）=cosx+xsinx，利用導(dǎo)數(shù)判斷g（x）在[-π，π]上的單調(diào)性和極值，區(qū)間端點(diǎn)值，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷m的范圍．

解答 解：令f（x）=0得cosx+xsinx=m，
令g（x）=cosx+xsinx，則g′（x）=-sinx+sinx+xcosx=xcosx．
令g′（x）=0得x=0或cosx=0，
∴x=0或x=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z．
∴g（x）在[-π，π]上隨x的變化如下表所示：

x	[-π，-$\frac{π}{2}$）	-$\frac{π}{2}$	（-$\frac{π}{2}$，0）	0	（0，$\frac{π}{2}$）	$\frac{π}{2}$	（$\frac{π}{2}$，π]
g′（x）	+	0	-	0	+	0	-
g（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

∵g（-π）=f（π）=-1，g（-$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，f（0）=1，
∵f（x）有4個(gè)零點(diǎn)，
∴1＜m＜$\frac{π}{2}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，零點(diǎn)個(gè)數(shù)與極值的關(guān)系，屬于中檔題．