Question

9．已知函數(shù)f（x）=sinωx（ω＞0）在[0，$\frac{π}{6}$]上的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當把f（x）的圖象上所有的點向右平移φ個單位，得到函數(shù)g（x），且g（x）滿足g（$\frac{7}{12}$π+x）=g（$\frac{7}{12}$π-x），則正數(shù)φ的最小值為（　�。�

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由函數(shù)的最大值求得ω的值，由正弦函數(shù)圖象變換，求得g（x）的解析式，由函數(shù)的對稱性求得g（x）的對稱軸，可知2×$\frac{7}{12}$π-2φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得φ=-$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，當k=0時，即可求得正數(shù)φ的最小值．

解答 解：由題意，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{6}$]上單調遞增，
∴sin（$\frac{π}{6}$ω）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$ω=$\frac{π}{3}$，
∴ω=2，
由f（x）的圖象上所有的點向右平移φ個單位，
∴g（x）=sin（2x-2φ），
又g（$\frac{7}{12}$π+x）=g（$\frac{7}{12}$π-x），
所以x=$\frac{7}{12}$π是函數(shù)g（x）的一條對稱軸，
故2×$\frac{7}{12}$π-2φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=-$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
當k=0時，正數(shù)φ取最小值$\frac{π}{3}$．
故答案選：C．

點評 本題考查正弦函數(shù)的最值，函數(shù)圖象變換，正弦函數(shù)的周期性質，考查學生對題目的理解和基礎知識的掌握能力，屬于中檔題．