Question

15．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l₁過(guò)定點(diǎn)A（1，0）
（1）若直線l₁與圓相切，切點(diǎn)為B，求線段AB的長(zhǎng)度；
（2）若l₁與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又l₁與l₂：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，判斷AM•AN是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用幾何法，連接AB，BC與AC，則BC⊥AB，且BC=2，從而求出AC與AB的值；
（2）討論斜率不存在以及為0，l₁與圓C的位置關(guān)系，設(shè)出正弦l₁的方程，利用直線與直線以及直線與圓的位置關(guān)系列出方程求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，計(jì)算AM•AN的值即可．

解答 解：（1）圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，圓心為（3，4），半徑為2，
直線l₁過(guò)定點(diǎn)A（1，0）；

直線l₁與圓C相切，切點(diǎn)為B，連接AB，BC與AC，則BC⊥AB，且BC=2，
所以AC=$\sqrt{{（3-1）}^{2}{+（4-0）}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
AB=$\sqrt{{AC}^{2}{-BC}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{5}）}^{2}{-2}^{2}}$=4，
即線段AB的長(zhǎng)度為4；
（2）易知，若斜率不存在，則l₁與圓相切，
若斜率為0，則l₁與圓相離，故直線的斜率存在，
可設(shè)l₁的方程：y=k（x-1），
由$\left\{{\begin{array}{l}{x+2y+2=0}\\{y=k（x-1）}\end{array}}\right.$，解得$N（\frac{2k-2}{2k+1}，\frac{-3k}{2k+1}）$，
再由CM⊥l₁，解得$M（\frac{{{k^2}+4k+3}}{{1+{k^2}}}，\frac{{4{k^2}+2k}}{{1+{k^2}}}）$，
又直線CM⊥l₁，所以$\left\{{\begin{array}{l}{y-4=-\frac{1}{k}（x-3）}\\{y=k（x-1）}\end{array}}\right.$，
解得$M（\frac{{{k^2}+4k+3}}{{1+{k^2}}}，\frac{{4{k^2}+2k}}{{1+{k^2}}}）$，
所以$AM•AN=\frac{2|2k+1|}{{1+{k^2}}}\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{3\sqrt{{1+{k^2}}}}}{|2k+1|}=6$為定值．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的綜合應(yīng)用問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想與方程的應(yīng)用問題，是綜合性題目．