【題目】對數(shù)函數(shù)g(x)=1ogax(a>0,a≠1)和指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)互為反函數(shù).已知函數(shù)f(x)=3x,其反函數(shù)為y=g(x).
(Ⅰ)若函數(shù)g(kx2+2x+1)的定義域為R,求實數(shù)k的取值范圍;
(Ⅱ)若0<x1<x2且|g(x1)|=|g(x2)|,求4x1+x2的最小值;
(Ⅲ)定義在I上的函數(shù)F(x),如果滿足:對任意x∈I,總存在常數(shù)M>0,都有-M≤F(x)≤M成立,則稱函數(shù)F(x)是I上的有界函數(shù),其中M為函數(shù)F(x)的上界.若函數(shù)h(x)=,當(dāng)m≠0時,探求函數(shù)h(x)在x∈[0,1]上是否存在上界M,若存在,求出M的取值范圍,若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)k>1;(Ⅱ)4;(Ⅲ)見解析
【解析】
(Ⅰ)因為g(x)=1ogax與f(x)=3x,互為反函數(shù),所以a=3,得g(kx2+2x+1)= log3(kx2+2x+1)的定義域為R,所以kx2+2x+1>0恒成立,可求解k的范圍;(Ⅱ)由|g(x1)|=|g(x2)|,得|log3x1|=|log3x2|,分析化簡得x1x2=1,4x1+x2=4x1+,利用雙勾函數(shù)求其最值;(Ⅲ)由h(x)==-1+,分m>0和m<0分別求出h(x)的取值范圍,然后討論其上下界.
(Ⅰ)由題意得g(x)=log3x,
因為g(kx2+2x+1)=log3(kx2+2x+1)的定義域為R,
所以kx2+2x+1>0恒成立,
當(dāng)k=0時不滿足條件,
當(dāng)k≠0時,若不等式恒成立,
則,即,
解得k>1;
(Ⅱ)由|g(x1)|=|g(x2)|,得|log3x1|=|log3x2|,
因為0<x1<x2,
所以0<x1<1<x2,且-log3x1=log3x2,
所以log3x1+log3x2=log3x1x2=0,
所以x1x2=1,
所以則4x1+x2=4x1+,0<x1<1,
因為函數(shù)y=4x+在(0,)上單調(diào)遞減,在(,1)上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x1=時,4x1+x2取得最小值為4.
(Ⅲ)h(x)==-1+,(m≠0),
(i)當(dāng)m>0,1+m3x>1,則h(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,
所以≤h(x)≤,
①若||≥||,即m∈(0,]時,存在上界M,M∈[||,+∞),
②若||<||,即m∈(,+∞)時,存在上界M,M∈[||,+∞),
(ii)當(dāng)m<0時,
①若-<m<0時,h(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,h(x)∈[,],存在上界M,M∈[,+∞),
②若m=-時,h(x)=-1+在[0,1]上單調(diào)遞增,h(x)∈[2,+∞),故不存在上界.
③若-1<m<-時,h(x)在[0,log3(-))上單調(diào)遞增,h(x)在(log3(-),1]上單調(diào)遞增,h(x)∈(-∞,]∪[,+∞)故不存在上界,
④若m=-1,h(x)=-1+在(0,1]上單調(diào)遞增,h(x)∈(-∞,-2],故不存在上界
⑤若m<-1,h(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,h(x)∈[,],而<0,存在上界M,M∈[||,+∞);
綜上所述,當(dāng)m<-1時,存在上界M,M∈[||,+∞),
當(dāng)-1≤m≤-時,不存在上界,
當(dāng)-<m<0時,存在上界M,M∈[,+∞),
當(dāng)m∈(0,]時,存在上界M,M∈[||,+∞),
當(dāng)m∈(,+∞)時,存在上界M,M∈[||,+∞).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)有物理、化學(xué)、生物三個學(xué)科競賽各設(shè)冠軍一名,現(xiàn)有人參賽可報任意學(xué)科并且所報學(xué)科數(shù)不限,則最終決出冠軍的結(jié)果共有多少種可能?
(2)有共個數(shù),從中取個數(shù)排成一個五位數(shù),要求奇數(shù)位上只能是奇數(shù),則共可排成多少個五位數(shù)?
(3)有共個數(shù),從中取個數(shù)排成一個五位數(shù),要求奇數(shù)只在奇數(shù)位上,則共可排成多少個五位數(shù)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究黏蟲孵化的平均溫度(單位: )與孵化天數(shù)之間的關(guān)系,某課外興趣小組通過試驗得到如下6組數(shù)據(jù):
組號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
平均溫度 | 15.3 | 16.8 | 17.4 | 18 | 19.5 | 21 |
孵化天數(shù) | 16.7 | 14.8 | 13.9 | 13.5 | 8.4 | 6.2 |
他們分別用兩種模型①,②分別進(jìn)行擬合,得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析,得到如圖所示的殘差圖:
經(jīng)計算得,
(1)根據(jù)殘差圖,比較模型①,②的擬合效果,應(yīng)選擇哪個模型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)殘差絕對值大于1的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù),需要剔除,剔除后應(yīng)用最小二乘法建立關(guān)于的線性回歸方程.(精確到0.1)
,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,在處的切線方程為.
(1)求, ;
(2)若,證明: .
【答案】(1), ;(2)見解析
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到關(guān)于 的方程組,解出即可;
(2)由(1)可知, ,
由,可得,令, 利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得
,
從而證明.
試題解析:((1)由題意,所以,
又,所以,
若,則,與矛盾,故, .
(2)由(1)可知, ,
由,可得,
令,
,
令
當(dāng)時, , 單調(diào)遞減,且;
當(dāng)時, , 單調(diào)遞增;且,
所以在上當(dāng)單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,
故,
故.
【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法,以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法,解題時要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,若直線與曲線相切;
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)在曲線上取兩點, 與原點構(gòu)成,且滿足,求面積的最大值.
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【題目】如圖一塊長方形區(qū)域ABCD,AD=2(km),AB=1(km).在邊AD的中點O處,有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈,其照射角∠EOF始終為,設(shè)∠AOE=,探照燈O照射在長方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S.
(1)當(dāng)0≤時,寫出S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個來回”(OE自OA轉(zhuǎn)到OC,再回到OA,稱“一個來回”,忽略OE在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時所用時間),且轉(zhuǎn)動的角速度大小一定,設(shè)AB邊上有一點G,且∠AOG,求點G在“一個來回”中,被照到的時間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司對營銷人員有如下規(guī)定:
①年銷售額 (萬元)在8萬元以下,沒有獎金;
②年銷售額 (萬元), 時,獎金為萬元,且, ,且年銷售額越大,獎金越多;
③年銷售額超過64萬元,按年銷售額的10%發(fā)獎金.
(1)求獎金y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)若某營銷人員爭取獎金 (萬元),則年銷售額 (萬元)在什么范圍內(nèi)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),函數(shù),函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,不等式恒成立,求的最小值.
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