已知函數(shù)f（x）=-x+log2
1-x
1+x
．
（Ⅰ）求f（
1
2012
）+f（-
1
2012
）的值；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性．
考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（Ⅰ）求f（-x）=-f（x），所以f（-x）+f（x）=0，所以f(
1
2012
)+f(-
1
2012
)=0；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的定義域，求f′（x），并判斷f′（x）在定義域上的符號，從而證明f（x）在定義域上的單調(diào)性．
解答： 解：f（-x）=x+log2
1+x
1-x
=x-log2
1-x
1+x
=-f（x）；
∴f（-x）+f（x）=0；
∴（Ⅰ）f（
1
2012
）+f（-
1
2012
）=0；
（Ⅱ）解
1-x
1+x
＞0得-1＜x＜1；
∴f′（x）=-1-
2
(1-x)(1+x)ln2
＜0；
∴函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞減．
點評：考查對數(shù)的運算，函數(shù)定義域，以及通過求導，判斷導數(shù)符號來判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，m∈R+，并且a＜b，用分析法證明：
a+m
b+m
＞
a
b
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-ax+xlnx．
（Ⅰ）當a=3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥-6恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任取三個實數(shù)x1，x2，x3，設x1＜x2＜x3，證明：
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＜
f(x3)-f(x2)
x3-x2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[0，
π
2
]，求
（Ⅰ）
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=x+
a
x
+lnx，（a∈R）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選出3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有多少種？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖（示意），公路AM、AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中tanα=-2．在該塊土地中P處有一小型建筑，經(jīng)測量，它到公路AM，AN的距離分別為3km，
5
km．現(xiàn)要過點P修建一條直線公路BC，將三條公路圍成的區(qū)域ABC建成一個工業(yè)園．為盡量減少耕地占用，問如何確定B點的位置，使得該工業(yè)園區(qū)的面積最��？并求最小面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=an2+bn，且a1=1，a2=3．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）記bn=
1
anan+1
，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn，求使得Tn＜
m
20
對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知冪函數(shù)f（x）=x m2-2m-3（m∈Z）的圖象與x軸，y軸都無交點，且關于y軸對稱，試確定f（x）的解析式是
 
．

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