Question

如圖（示意），公路AM、AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中tanα=-2．在該塊土地中P處有一小型建筑，經(jīng)測(cè)量，它到公路AM，AN的距離分別為3km，

5

km．現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)P修建一條直線公路BC，將三條公路圍成的區(qū)域ABC建成一個(gè)工業(yè)園．為盡量減少耕地占用，問(wèn)如何確定B點(diǎn)的位置，使得該工業(yè)園區(qū)的面積最��？并求最小面積．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足為E、F，連接PA．S_△ABC=S_△ABP+S_△APC=

1

2

?x?3+

1

2

?y?

5

=

1

2

（3x+

5

y），S_△ABC=

1

2

?x?y?

2

5

，可得3

5

x+5y=2xy，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足為E、F，連接PA．
設(shè)AB=x，AC=y．
因?yàn)镻到AM，AN的距離分別為3，

5

，
即PE=3，PF=

5

．
由S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
=

1

2

?x?3+

1

2

?y?

5

=

1

2

（3x+

5

y）．  ①…（4分）
因?yàn)閠anα=-2，所以sinα=

2

5

．
所以S_△ABC=

1

2

?x?y?

2

5

．  ②…（8分）
由①②可得

1

2

?x?y?

2

5

=

1

2

（3x+

5

y）．
即3

5

x+5y=2xy． ③…（10分）
因?yàn)?

5

x+5y≥2

15 5 xy

，所以 2xy≥2

15 5 xy

．
解得xy≥15

5

．                          …（13分）
當(dāng)且僅當(dāng)3

5

x=5y取“=”，結(jié)合③解得x=5，y=3

5

．
所以S_△ABC=

1

2

?x?y?

2

5

有最小值15．
答：當(dāng)AB=5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km²．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．