Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好在拋物線的準線上．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程．

（Ⅱ）點，在橢圓上，，是橢圓上位于直線兩側的動點．

（i）若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值．

（ii）當，運動時，滿足，試問直線的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2）直線的斜率為定值.

【解析】

試題（Ⅰ）由題,得b=2,又,,聯立計算得出即可.
（Ⅱ）（i）設，，直線的方程為,與橢圓方程聯立化為,由，計算得出, ,利用根與系數的關系可得: .四邊形APBQ面積,可求得面積最值.
（ii）由,則PA,PB的斜率互為相互數,可設直線PA的斜率為k,則PB的斜率為-k,直線PA的方程為:,與橢圓的方程聯立化為,利用根與系數的關系、斜率計算公式即可求解.

試題解析：

（Ⅰ）設橢圓的標準方程為，

∵ 橢圓的一個頂點恰好在拋物線的準線上，

∴，即，

又∵ ，，

∴，，

故橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）（i）設，，直線的方程為，

聯立，得，

由，計算得出，

∴，，

∴ ，

∴ 四邊形的面積，

當時，．

（ii）∵ ，則，的斜率互為相反數，可設直線的斜率為，

則的斜率為，直線/span>的方程為：，

聯立，得，

∴，

同理可得：，

∴，，

，

∴直線的斜率為定值．