Question

8．在《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)（劉徽注）中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至不能割，則與圓周合體而無(wú)所失矣．”注述中所用的割圓術(shù)是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程，比如在$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}$中“…”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值x，這可以通過(guò)方程$\sqrt{2+x}$=x確定出來(lái)x=2，類(lèi)似地不難得到$\frac{1}{1+\frac{1}{1+…}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知代數(shù)式的求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負(fù)根），可得要求的式子．

解答 解：可以令1+$\frac{1}{1+\frac{1}{1+…}}$=t（t＞0），由1+$\frac{1}{t}$=t解的其值為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故答案為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查類(lèi)比推理的思想方法，考查從方法上類(lèi)比，是一道基礎(chǔ)題．