Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx+sin2x-

5

2

，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）最大值和最小正周期；
（2）設△ABC內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且c=3，f（C）=-1．若sinB=2sinA，求a、b的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式的正弦對函數(shù)解析式化簡整理，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得最大值和最小正周期．
（2）利用（1）的解析式，根據(jù)f（C）=1求得sin（2C-

π

6

）的值，進而求得C，利用余弦定理和正弦定理分別用a和b表示，聯(lián)立方程可求得a和b．

解答： 解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

-

5

2

=sin(2x-

π

6

)-2，
∴f（x）的最大值為1-2=-1，最小正周期是T=

2π

2

=π．                
（2）f(C)=sin(2C-

π

6

)-2=-1，
∴sin(2C-

π

6

)=1，
∵0＜C＜π，
∴0＜2C＜2π，
∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11

6

π，
∴2C-

π

6

=

π

2

，
∴C=

π

3

．                                        
∵sinB=2sinA，
∴由正弦定理得

a

b

=

1

2

，①
∵由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=9，②
∴①②解得a=

3

，b=2

3

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用．，三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象，正弦定理和余弦定理的綜合運用．基礎性和綜合性都很強