Question

3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．
（1）證明：BE⊥DC；
（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；
（3）求二面角A-BD-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PD中點(diǎn)M，連接EM，AM，推導(dǎo)出四邊形ABEM為平行四邊形，CD⊥平面PAD，由此能證明BE⊥DC．
（2）連接BM，推導(dǎo)出PD⊥EM，PD⊥AM，從而直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM，∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角，由此能求出直線BE與平面PDB所成角的正弦值．
（3）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BD-P的余弦值．

解答 證明：（1）如圖，取PD中點(diǎn)M，連接EM，AM．∵E，M分別為PC，PD的中點(diǎn)，∴EM∥DC，且EM=$\frac{1}{2}$DC，
又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，
∴四邊形ABEM為平行四邊形，∴BE∥AM．
∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，
∴BE⊥DC．
解：（2）連接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，
而EM∥CD，∴PD⊥EM．
又∵AD=AP，M為PD的中點(diǎn)，∴PD⊥AM，
∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，
∴平面BEM⊥平面PBD．
∴直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM，
∵BE⊥EM，∴∠EBM為銳角，
∴∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角．
依題意，有PD=2$\sqrt{2}$，而M為PD中點(diǎn)，
∴AM=$\sqrt{2}$，∴BE=$\sqrt{2}$．
∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM=$\frac{EM}{BM}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線BE與平面PBD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BP}$=（-1，0，2），
設(shè)平面BDP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，1），
平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)二面角A-BD-P的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角A-BD-P的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．