Question

過(guò)拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn)，線(xiàn)段PQ的中垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)R，求證：|PQ|=2|FR|．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線(xiàn)方程求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出PQ所在直線(xiàn)方程，和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求得|PQ|，然后求出PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，再求出PQ的垂直平分線(xiàn)方程，求出其在x軸上的截距，得到|RF|，從而證得答案．

解答： 證明：拋物線(xiàn)y²=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

p

2

，0），
由題意可設(shè)PQ所在直線(xiàn)方程為y=k（x-

p

2

），
聯(lián)立

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，得4k²x²-（4k²p+8p）x+k²p²=0．
則x1+x2=

4k2p+8p

4k2

=p+

2p

k2

，
∴|PQ|=x1+x2+p=2p+

2p

k2

．
PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

p

2

+

p

k2

，

p

k

），
∴PQ的垂直平分線(xiàn)方程為y-

p

k

=-

1

k

(x-

p

2

-

p

k2

)，
取y=0，得x=

3

2

p+

p

k2

，
則|RF|=P+

p

k2

．
故：|PQ|=2|FR|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的關(guān)系，涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)關(guān)系問(wèn)題，常采用聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系求解，是中檔題．