Question

【題目】已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)，其左右焦點(diǎn)為F1，F2，過(guò)F2的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，△AB F1的周長(zhǎng)為8，且△AF1F2的面積最大時(shí)，△AF1F2為正三角形。

(1)求橢圓E的方程；

(2)若MN是橢圓E經(jīng)過(guò) 原點(diǎn)的弦，MN||AB，求證： 為定值

Answer 1

【答案】（1）（2）4

【解析】試題分析：（I）根據(jù)題意列出關(guān)于 、 、的方程組，結(jié)合性質(zhì) ， 求出 、 、，即可得結(jié)果；（Ⅱ）直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式將用 表示，消去 即可得結(jié)果.

試題解析：（I）由已知A，B在橢圓上，可得|AF1|+|AF2|=|BF1|=|BF2|=2a，

又△ABF1的周長(zhǎng)為8，所以|AF1|+|AF2|+|BF1|=|BF2|=4a=8，即a=2，

由橢圓的對(duì)稱性可得，△AF1F2為正三角形當(dāng)且僅當(dāng)A為橢圓短軸頂點(diǎn)，

則a=2c，即c=1，b2=a2﹣c2=3，

則橢圓C的方程為

（Ⅱ）證明：若直線l的斜率不存在，即l：x=1，求得|AB|=3，|MN|=2，可得=4；

若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y=k（x﹣1），

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

代入橢圓方程+，可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

有x1+x2 =，x1x2=，

|AB|，

由y=kx代入橢圓方程，可得x=±，

|MN|=

即有=4．

綜上可得為定值4．