Question

已知橢圓C的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，橢圓的離心率為

1

2

，且橢圓經(jīng)過點P(1，

3

2

)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）線段PQ是橢圓過點F₂的弦，且

PF2

=λ

F2Q

，求△PF₁Q內(nèi)切圓面積最大時實數(shù)λ的值．

Answer 1

考點：橢圓的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓的離心率為

1

2

，且橢圓經(jīng)過點P(1，

3

2

)，結(jié)合a²=b²+c²，求出a²=4，b²=3，從而可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類討論，確定當(dāng)直線PQ與x軸垂直時S△PF1Q最大，進(jìn)而可求△PF₁Q內(nèi)切圓面積最大時實數(shù)λ的值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵橢圓的離心率為

1

2

，且橢圓經(jīng)過點P(1，

3

2

)，
∴

c

a

=

1

2

，

1

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，
又a²=b²+c²，
∴a²=4，b²=3，
∴

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）顯然直線PQ不與x軸重合
當(dāng)直線PQ與x軸垂直時，|PQ|=3，|F₁F₂|=2，S△PF1Q=3；…（5分）
當(dāng)直線PQ不與x軸垂直時，設(shè)直線PQ：y=k（x-1），k≠0代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，
整理，得（3+4k²）y²+6ky-9k²=0，△＞0．y1+y2=

-6k

3+4k2

，y1•y2=

-9k2

3+4k2

…（7分）
S△PF1Q=

1

2

×|F1F2|×|y1-y2|=…=12

k2+k (3+4k2)2

令t=3+4k²，∴t＞3，k2=

t-3

4

S△PF1Q=3

-3( 1 t + 1 3 )2+ 4 3

，
∵0＜

1

t

＜

1

3

∴S△PF1Q∈(0，3)
由上，得S△PF1Q∈(0，3]
∴當(dāng)直線PQ與x軸垂直時S△PF1Q最大，且最大面積為3    …（10分）
設(shè)△PF₁Q內(nèi)切圓半徑r，則S=4r≤3，
即rmax=

3

4

，此時直線PQ與x軸垂直，△PF₁Q內(nèi)切圓面積最大
∴

PF2

=

F2Q

，λ=1…（12分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．