Question

8．已知圓C：x²+y²=4．
（1）圓C被直線$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0截得的優(yōu)弧與劣弧弧長之比為1：2；
（2）過點(diǎn)（-3，0）且分圓C所成的兩段弧長之比為1：2的直線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+3）；；
（3）橫截距為-1的直線分圓C所成的優(yōu)弧與劣弧弧長之比k的取值范圍是（1，2]．

Answer 1

分析 （1）確定劣弧所對(duì)的圓心角為120°，優(yōu)弧所對(duì)的圓心角為240°，即可求出圓C被直線$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0截得的優(yōu)弧與劣弧弧長之比；
（2）利用圓心到直線的距離為$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，即可得出結(jié)論；
（3）由題意，劣弧所對(duì)的圓心角最小為120°，最大為180°，即可得出橫截距為-1的直線分圓C所成的優(yōu)弧與劣弧弧長之比k的取值范圍．

解答 解：（1）圓心到直線的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，
∵圓的半徑為2，
∴劣弧所對(duì)的圓心角為120°，
∴優(yōu)弧所對(duì)的圓心角為240°，
∴圓C被直線$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0截得的優(yōu)弧與劣弧弧長之比為1：2；
（2）由（1）可知劣弧所對(duì)的圓心角為120°，圓心到直線的距離為$\sqrt{3}$，
設(shè)直線方程為y=k（x+3），即kx-y+3k=0，
∴圓心到直線的距離為$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+3）；
（3）由題意，劣弧所對(duì)的圓心角最小為120°，最大為180°，
∴橫截距為-1的直線分圓C所成的優(yōu)弧與劣弧弧長之比k的取值范圍是（1，2]．
故答案為：1：2；y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+3）；（1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．