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8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓C:(x+1)2+y2=16,點A(1,0),點B(a,0)(|a|>3),以B為圓心,|BA|的半徑作圓,交圓C于點P,且的∠PBA的平分線次線段CP于點Q.
(I)當(dāng)a變化時,點Q始終在某圓錐曲線τ是運動,求曲線τ的方程;
(II)已知直線l過點C,且與曲線τ交于M、N兩點,記△OCM面積為S1,△OCN面積為S2,求S1S2的取值范圍.

分析 (I)推導(dǎo)出△QAB≌△QPB,從而QC+QA=4,由橢圓的定義可知,Q點的軌跡是以C,A為焦點,2a=4的橢圓,由此能求出點Q的軌跡方程.
(II)設(shè)直線l:x=my-1,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),推導(dǎo)出S2S1=|y2||y1|=y2y1,由{x=my1x24+y23=1,得(3m2+4)y2-6my-9=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理,結(jié)合已知條件求出S1S2的取值范圍.

解答 解:(I)如圖,∵BA=BP,BQ=BQ,∠PBQ=∠ABQ,
∴△QAB≌△QPB,∴QA=QP,
∵CP=CQ+QP=QC+QA,QC+QA=4,
由橢圓的定義可知,Q點的軌跡是以C,A為焦點,2a=4的橢圓,
故點Q的軌跡方程為x24+y23=1
(II)由題可知,設(shè)直線l:x=my-1,不妨設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2
S1=SOMC=12×|OC|×|y1|S2=SONC=12×|OC|×|y2|,
S2S1=|y2||y1|=y2y1,
{x=my1x24+y23=1,∴(3m2+4)y2-6my-9=0,△=144m2+144>0,
{y1+y2=6m3m2+4y1y2=93m2+4,
\frac{{{{({y_1}+{y_2})}^2}}}{{{y_1}{y_2}}}=\frac{{-4{m^2}}}{{3{m^2}+4}}∈({-\frac{4}{3}}\right.,\left.0],
y1y2+y2y1+2∈(-43,0],y1y2∈(-3,-13),
S1S2=-y1y2∈(13,3).

點評 本題考查點的軌跡方程的求法,考查兩個三角形的面積的取值范圍的求法,考查橢圓、韋達(dá)定理、根的判別式、直線方程、弦長公式等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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