分析 (I)推導(dǎo)出△QAB≌△QPB,從而QC+QA=4,由橢圓的定義可知,Q點的軌跡是以C,A為焦點,2a=4的橢圓,由此能求出點Q的軌跡方程.
(II)設(shè)直線l:x=my-1,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),推導(dǎo)出S2S1=|y2||y1|=−y2y1,由{x=my−1x24+y23=1,得(3m2+4)y2-6my-9=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理,結(jié)合已知條件求出S1S2的取值范圍.
解答 解:(I)如圖,∵BA=BP,BQ=BQ,∠PBQ=∠ABQ,
∴△QAB≌△QPB,∴QA=QP,
∵CP=CQ+QP=QC+QA,QC+QA=4,
由橢圓的定義可知,Q點的軌跡是以C,A為焦點,2a=4的橢圓,
故點Q的軌跡方程為x24+y23=1
(II)由題可知,設(shè)直線l:x=my-1,不妨設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)
∵S1=S△OMC=12×|OC|×|y1|,S2=S△ONC=12×|OC|×|y2|,
S2S1=|y2||y1|=−y2y1,
∵{x=my−1x24+y23=1,∴(3m2+4)y2-6my-9=0,△=144m2+144>0,
∴{y1+y2=6m3m2+4y1y2=−93m2+4,
∵\frac{{{{({y_1}+{y_2})}^2}}}{{{y_1}{y_2}}}=\frac{{-4{m^2}}}{{3{m^2}+4}}∈({-\frac{4}{3}}\right.,\left.0],
即y1y2+y2y1+2∈(-43,0],y1y2∈(-3,-13),
∴S1S2=-y1y2∈(13,3).
點評 本題考查點的軌跡方程的求法,考查兩個三角形的面積的取值范圍的求法,考查橢圓、韋達(dá)定理、根的判別式、直線方程、弦長公式等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,-3) | B. | (-1,3] | C. | (-∞,-3] | D. | (-3,3] |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (0,e) | B. | (1,e) | C. | (e,2e) | D. | (e,+∞) |
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A. | 113 | B. | 133 | C. | 143 | D. | 5 |
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