Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^x（x²-3）．
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數(shù)y=f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，f′（0）=-3，直線斜率為-3，且過點（0，-3），利用點斜式方程，求得切線方程；
（2）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x（x²-3），
則f′（x）=e^x（x²+2x-3）=e^x（x+3）（x-1），
故f′（0）=-3，又f（0）=-3，
故曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為：y+3=-3x，即3x+y+3=0；
（2）由（1）知f′（x）=0可得：x=1或x=-3，
如下表：令f′（x）＞0，解得：x＜-3或x＞1；此時函數(shù)單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0，解得-3＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞遞減．

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

當(dāng)x=-3時取極大值，極大值為：f（-3）=6e^-3，
當(dāng)x=1取極小值為f（1）=-2e．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)法求曲線的切線方程及利用函數(shù)的單調(diào)性求極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．