設橢圓E:=1（）過點M（2，）, N（，1），為坐標原點
（I）求橢圓E的方程；
（II）是否存在以原點為圓心的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由。

（I）橢圓E的方程為；（II）存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且 

解析試題分析：（I）將點M（2，） ，N(,1)的坐標代入橢圓的方程即得一方程組：解這個方程組得，從而得橢圓E的方程為 
（II）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且 設該圓的切線方程為，聯(lián)立方程組，利用韋達定理及找到k與m間的關系式，再利用直線與圓相切，看看能否求出這樣的圓來，若能求出這樣的圓，則說明存在，若不能求出這樣的圓，則說明不存在
試題解析： （I）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，
所以解得所以橢圓E的方程為     4分
（II）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即  ，
則△=,即
,  7分
要使,需使,即,
所以,所以又,所以,
所以,即或,                  9分
因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,
所求的圓為,                       11分
此時圓的切線都滿足或,
而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,                    12分　
綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且 
13分
考點：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關系

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知兩點，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為.
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標為1，直線PE、PF與圓（）相切于點E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值（其中點O為坐標原點）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，橢圓上一點M
滿足.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線L：y=與橢圓恒有不同交點A，B，且（O為坐標原點），求實數(shù)k的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓的左、右頂點分別為、，離心率．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點C的軌跡E的方程；
（3）設直線MN過橢圓的右焦點與橢圓相交于M、N兩點，且，求直線MN的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點，
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點，且與的兩個交點A和B滿足（其中0為原點），求k的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知兩點及，點在以、為焦點的橢圓上，且、、構成等差數(shù)列．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點是直線上的兩點，且，． 求四邊形面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點，直線：x＝－將線段F1F2分成兩段，其長度之比為1:3．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線被直線截得的弦長為，求拋物線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點(2，0)的直線與橢圓相交于兩點，設為橢圓上一點，且滿足（為坐標原點），當 時，求實數(shù)取值范圍．

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