如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點，直線：x＝－將線段F1F2分成兩段，其長度之比為1:3．設(shè)A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)求的取值范圍．

(Ⅰ)； (Ⅱ)[，）．

解析試題分析：(Ⅰ)由題意比例關(guān)系先求c，再由離心率求a，從而可求橢圓的方程；（Ⅱ）分直線AB斜率是否存在兩種情況討論：（1）當直線AB垂直于x軸時，易求；（2）當直線AB不垂直于x軸時，先設(shè)直線AB的斜率，點M、A、B的坐標，把點A、B坐標代入橢圓方程求k、m之間的關(guān)系，再求PQ直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立方程組，由韋達定理求的表達式，最后求其范圍．
試題解析：(Ⅰ) 設(shè)F2(c，0)，則＝，所以c＝1．
因為離心率e＝，所以a＝．
所以橢圓C的方程為．                     6分

(Ⅱ)當直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x＝－，此時P(，0)、Q(,0)
．
當直線AB不垂直于x軸時，設(shè)直線AB的斜率為k，M(－，m) (m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由  得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)＝0，則－1＋4mk＝0，故k＝．
此時，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為．即．
聯(lián)立 消去y，整理得．
所以，．
于是(x1－1)(x2－1)＋y1y2

．
令t＝1＋32m2，1＜t＜29，則．
又1＜t＜29，所以．
綜上，的取值范圍為[，）． 15分
考點：1、橢圓的方程及性質(zhì)；2、直線與橢圓相交的性質(zhì)；3、向量的坐標運算.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標原點,點A,B分別在橢圓和上, ,求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點C在l上.
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點. 問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓E:=1（）過點M（2，）, N（，1），為坐標原點
（I）求橢圓E的方程；
（II）是否存在以原點為圓心的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知中，點A、B的坐標分別為，點C在x軸上方。
（1）若點C坐標為，求以A、B為焦點且經(jīng)過點C的橢圓的方程；
（2）過點P（m，0）作傾角為的直線交（1）中曲線于M、N兩點，若點Q（1，0）恰在以線段MN為直徑的圓上，求實數(shù)m的值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知圓為圓上一動點，點是線段的垂直平分線與直線的交點．

（1）求點的軌跡曲線的方程；
（2）設(shè)點是曲線上任意一點，寫出曲線在點處的切線的方程；（不要求證明）
（3）直線過切點與直線垂直，點關(guān)于直線的對稱點為，證明：直線恒過一定點，并求定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）拋物線與橢圓有公共焦點，設(shè)與軸交于點，不同的兩點、在 上（、與不重合），且滿足，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直角坐標系中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E的一個焦點為圓的圓心.
⑴求橢圓E的方程；
⑵設(shè)P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線，當直線都與圓相切時，求P點坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為，直線l的方程為： 
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于、兩點
①若線段中點的橫坐標為，求斜率的值；
②已知點，求證：為定值

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