Question

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為4.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)（2,0）且與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，直線與x軸交于點(diǎn)D,E是直線上異于D的任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線BE是否恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)？若過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）直線BE恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)，詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用離心率，短軸長(zhǎng)4，列關(guān)于的方程組，解方程即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，可得直線BE過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，，設(shè)出的坐標(biāo)，求出直線BE的方程，求出與x軸的交點(diǎn)表達(dá)式，即證,

根據(jù)的特點(diǎn)，將直線l和橢圓聯(lián)立，得到，代入，可得式子成立，即證明直線BE恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)。

解：（1）由題意得。解得，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）直線BE恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)

證明如下：

因?yàn)?/span>.所以，

因?yàn)橹本�l過(guò)點(diǎn)

①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則直線l的方程為，

不妨設(shè)則

此時(shí)，直線BE的方程為，

所以直線BE過(guò)定點(diǎn)；

②直線l的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，所以.

直線，令，得

即，又

所以

即證

即證

聯(lián)立,消x得，

因?yàn)辄c(diǎn)在C內(nèi)，所以直線l與C恒有兩個(gè)交點(diǎn)，

由韋達(dá)定理得，

代入（*）中得

所以直線BE過(guò)定點(diǎn)，

綜上所述，直線BE恒過(guò)x軸上的定點(diǎn).