【題目】如圖，已知與分別是邊長為1與2的正三角形， ，四邊形為直角梯形，且， ，點為的重心， 為中點， 平面， 為線段上靠近點的三等分點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若二面角的余弦值為，試求異面直線與所成角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：⑴連延長交于，推導出，又為中點，所以，又，所以，從而證明平面；

⑵為原點， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值

解析：（Ⅰ）解：在中，連延長交于，因為點為的重心

所以，且為中點，又，

所以，所以；

又為中點，所以，又，

所以，所以四點共面

又平面， 平面

所以平面

（Ⅱ）由題意， 平面，所以，平面平面，且交線為，

因為，所以平面，

又四邊形為直角梯形， ， ，所以，所以平面

因為， ，所以平面平面，

又與分別是邊長為1與2的正三角形，

故以為原點， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標系，

設，則， ， ， ， ， ，

因為

所以， ，

設平面的法向量，則，取，

平面的法向量，

所以二面角的余弦值 ，

，又，

直線與所成角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為.

（1）若拋物線的焦點到準線的距離為4，直線，求直線截拋物線所得的弦長；

（2）過點的直線交拋物線于兩點，過點作拋物線的切線，兩切線相交于點，若分別表示直線與直線的斜率，且，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為了了解2018年當?shù)鼐用窬W(wǎng)購消費情況，隨機抽取了100人，對其2018年全年網(wǎng)購消費金額(單位:千元)進行了統(tǒng)計，所統(tǒng)計的金額均在區(qū)間內(nèi)，并按，,…,6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求圖中的值;

（2）若將全年網(wǎng)購消費金額在20千元及以上者稱為網(wǎng)購迷.結(jié)合圖表數(shù)據(jù)，補全列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為樣本數(shù)據(jù)中的網(wǎng)購迷與性別有關系?說明理由;

男

女

合計

網(wǎng)購迷

20

非網(wǎng)購迷

45

合計

下面的臨界值表僅供參考:

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

附： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地4個蔬菜大棚頂部，陽光照在一棵棵茁壯生長的蔬菜上，這些采用水培、無土栽培方式種植的各類蔬菜，成為該地區(qū)居民爭相購買的對象，過去50周的資料顯示，該地周光照量（小時）都在30以上，其中不足50的周數(shù)大約5周，不低于50且不超過70的周數(shù)大約有35周，超過70的大約有10周，根據(jù)統(tǒng)計某種改良黃瓜每個蔬菜大棚增加量（百斤）與每個蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號液體肥料（千克）之間對應數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖.

（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；并根據(jù)所求線性回歸方程，估計如果每個蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號肥料10千克，則這種改良黃瓜每個蔬菜大鵬增加量是多少斤？

（2）因蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為應對惡劣天氣對光照的影響，為該基地提供了部分光照控制儀，該商家希望安裝的光照控制儀盡可能運行，但每周光照控制儀最多可運行臺數(shù)受周光照量限制，并有如下關系：

周光照量（單位：小時）

30<X<50

光照控制儀最多可運行臺數(shù)

3

2

1

若某臺光照控制儀運行，則該臺光照儀周利潤為4000元；若某臺光照儀未運行，則該臺光照儀周虧損500元，欲使商家周總利潤的均值達到最大，應安裝光照控制儀多少臺？

附：回歸方程系數(shù)公式： ， .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，點在傾斜角為的直線上，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的方程為.

（1）寫出的參數(shù)方程及的直角坐標方程；

（2）設與相交于兩點，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．

(1)若A∪B＝A，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)當x∈Z時，求A的非空真子集的個數(shù)；

(3)當x∈R時，若A∩B＝，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點F在直線上。

（Ⅰ）求拋物線C的方程。

（Ⅱ）過點做互相垂直的兩條直線與曲線C交于A，B兩點，與曲線C交于E,F兩點，線段AB、EF的中點分別為M、N，求證：直線MN過定點P，并求出定點P的坐標。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在中，,是的平分線，且,則的取值范圍是( )

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求證：AD⊥BC；

（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．

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