【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線的焦點(diǎn)F在直線上。

(Ⅰ)求拋物線C的方程。

(Ⅱ)過點(diǎn)做互相垂直的兩條直線與曲線C交于A,B兩點(diǎn),與曲線C交于E,F兩點(diǎn),線段AB、EF的中點(diǎn)分別為M、N,求證:直線MN過定點(diǎn)P,并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)。

【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)直線過定點(diǎn),其坐標(biāo)為.

【解析】

(Ⅰ)由拋物線的焦點(diǎn)在直線上,求得焦點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得出,即可求解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求解點(diǎn)的坐標(biāo),分類討論,即可求解.

(Ⅰ)拋物線的焦點(diǎn)在直線上,

,

拋物線的方程為

(Ⅱ)易知直線,的斜率存在且不為0,設(shè)直線的斜率為,,

則直線,

,

,

,

.同理得

當(dāng)時,直線的方程為

當(dāng)時,直線的斜率為,

∴直線的方程為,即,

∴直線過定點(diǎn),其坐標(biāo)為

練習(xí)冊系列答案
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2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明;

3)求實(shí)數(shù)的取值范圍,使得關(guān)于的方程分別為:

①有且僅有一個實(shí)數(shù)解;②有兩個不同的實(shí)數(shù)解;③有三個不同的實(shí)數(shù)解.

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