Question

已知曲線ax²+by²=12的兩條動弦MA，MB所在直線的斜率分別為k₁，k₂．
（1）已知a=b=3且A（-2，0），B（2，0），試證明：k₁k₂為定值．
（2）已知a=3，b=4．
（i）若A（-2，0），B（2，0），試判斷k₁k₂是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．
（ii）若定點M（1，-

3

2

）且k₁k₂=

3

4

，試判斷直線AB是否過一定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）寫出曲線為x²+y²=4，設(shè)M（m，n），則m²+n²=4，運用直線的斜率的公式，即可得到；
（2）（i）設(shè)M（m，n），則3m²+4n²=12，運用直線的斜率的公式，即可得到；
（ii）設(shè)直線AB：y=kx+t，聯(lián)立直線AB和橢圓方程3x²+4y²=12，消去y，運用判別式大于0，以及韋達定理，再求出y₁y₂，y₁+y₂，由直線的斜率公式，再化簡整理，并分解因式，即可得到k，t的關(guān)系，再由直線方程即可判斷是否過定點．

解答： 解：（1）由于a=b=3且A（-2，0），B（2，0），則曲線為x²+y²=4，
設(shè)M（m，n），則m²+n²=4，即n²=4-m²，
k₁k₂=

n

m+2

•

n

m-2

=

n2

m2-4

=-1；
（2）（i）由于A（-2，0），B（2，0），設(shè)M（m，n），
則3m²+4n²=12，即有n²=

3(4-m2)

4

，
k₁k₂=

n

m+2

•

n

m-2

=

n2

m2-4

=-

3

4

．
（ii）設(shè)直線AB：y=kx+t，聯(lián)立直線AB和橢圓方程3x²+4y²=12，
消去y，得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-12=0，
則判別式為64k²t²-4（3+4k²）（4t²-12）＞0，即有t²-3-4k²＜0，
x₁+x₂=-

8kt

3+4k2

，x₁x₂=

4t2-12

3+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x1x₂+kt（x₁+x₂）+t²，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t，
由于定點M（1，-

3

2

）且k₁k₂=

3

4

，
則

y1+ 3 2

x1-1

•

y2+ 3 2

x2-1

=

3

4

，
即有（3-4k²）x₁x₂-（3+4kt+6k）（x₁+x₂）-6-4t²-12t=0，
即有（3-4k²）

4t2-12

3+4k2

+（3+4kt+6k）

8kt

3+4k2

-6-4t²-12t=0，
化簡整理得，（2k-3）（2k+3+2t）=0，
則有k=

3

2

或t=-k-

3

2

，
當(dāng)k=

3

2

時，代入判別式得，t²-3-4k²=t²-12＜0，解得-2

3

＜t＜2

3

，
直線AB為y=

3

2

x+t是平行直線系，不過定點；
當(dāng)t=-k-

3

2

時，代入判別式得-3（k+

1

2

）²＜0，成立，
則有直線AB：y=kx-k-

3

2

，即y=k（x-1）-

3

2

，
則直線AB恒過定點（1，-

3

2

）與已知M重合，矛盾，故不成立．
故直線AB不過一定點．

點評：本題考查圓、橢圓的方程和運用，考查直線的斜率公式和直線方程的運用，考查聯(lián)立橢圓方程和直線方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理解題和判別式大于0，考查化簡和整理的運算能力，有一定的綜合性，屬于難題．