Question

16．已知關(guān)于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的兩個(gè)實(shí)根分別為一個(gè)橢圓，一個(gè)雙曲線的離心率，則$\frac{a}$的取值范圍（　�。�

• A． $（-1，-\frac{1}{2}）$
• B． （-1，0）
• C． （-2，+∞）
• D． $（-2，-\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 令f（x）=x²+（a+1）x+a+b+1，由于關(guān)于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x₁，x₂，且0＜x₁＜1，x₂＞1，可得f（0）＞0，f（1）＜0，再利用線性規(guī)劃的有關(guān)知識即可得出．

解答 解：令f（x）=x²+（a+1）x+a+b+1，
∵關(guān)于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的兩個(gè)實(shí)根分別為一個(gè)橢圓，一個(gè)雙曲線的離心率，
∴x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x₁，x₂，且0＜x₁＜1，x₂＞1，
∴f（0）＞0，f（1）＜0，
∴a+b+1＞0，1+a+1+a+b+1＜0，
即a+2b+1＞0，2a+b+3＜0，
設(shè)$\frac{a}$=k，即b=ka，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1=0}\\{2a+b+3=0}\end{array}\right.$，解得P（-2，1）．
∴-2＜k＜-$\frac{1}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、線性規(guī)劃的有關(guān)知識、一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件，屬于中檔題．