Question

（10分）已知函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），若函數f（x）在x=-1時取到最小值0，且f（0）=1，g（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

．
（1）求g（2）+g（-2）的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[t，t+2]（t∈R）上的最小值．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據二次函數的性質求出二次函數f（x）的表達式即可求g（2）+g（-2）的值；
（2）根據二次函數對稱軸和區(qū)間之間關系即可得到結論．

解答： 解：∵已知函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），若函數f（x）在x=-1時取到最小值0，且f（0）=1，
∴對稱軸x=-

b

2a

=-1，即b=2a，
且判別式△=b²-4ac=0，
即4a²-4ac=0，即a=c，
∵f（0）=c=1，
∴a=c=1，b=2，即f（x）=x²+2x+1，
則g（x）=

x2+2x+1， x＞0 -x2-2x-1， x＜0

．
則g（2）+g（-2）=f（2）-f（-2）=4+4+1+（4+4+1）=10．
（2）∵f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
∴二次函數的對稱軸為x=-1．
若t≥-1，此時f（x）在區(qū)間[t，t+2]上單調遞增，則最小值為f（t）=（t+1）²，
當t+2≤-1，即t≤-3時，此時f（x）在區(qū)間[t，t+2]上單調遞減，則最小值為f（t+2）=（t+3）²，
若t≤-1≤t+2，即-3＜t＜-1時，最小值為f（-1）=（-1+1）²=0，
綜上函數的最小值為

(t+3)2， t≤-3 0， -3＜t＜-1 (t+1)2， t≥-1

．

點評：本題主要考查分段函數的應用以及二次函數的圖象和性質，要求熟練掌握二次函數單調性和對稱軸之間的關系．