甲、乙兩人進(jìn)行一項(xiàng)游戲比賽，比賽規(guī)則如下：甲從區(qū)間[0，1]上隨機(jī)等可能地抽取一個(gè)實(shí)數(shù)記為b，乙從區(qū)間[0，1]上隨機(jī)等可能地抽取一個(gè)實(shí)數(shù)記為c（b，c可以相等），若關(guān)于x的方程x2+2bx+c=0有實(shí)根，則甲獲勝，否則乙獲勝．
（Ⅰ）求一場(chǎng)比賽中甲獲勝的概率；
（Ⅱ）設(shè)n場(chǎng)比賽中，甲恰好獲勝k場(chǎng)的概率為Pnk，求
n
k=0
k
n
Pnk的值．
（Ⅲ）若n=8時(shí)，k為何值時(shí)，Pnk取到最大值．（不必證明）
考點(diǎn)：n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率
專題：概率與統(tǒng)計(jì)
分析：（Ⅰ）關(guān)于x的方程x2+2bx+c=0有實(shí)根，等價(jià)于△=4b2-4c≥0，即 b2≥c．由此求得一場(chǎng)比賽中甲獲勝的概率為
∫
1
0
 b 2db
1×1
，計(jì)算求得結(jié)果．
（Ⅱ）設(shè)n場(chǎng)比賽中，甲恰好獲勝k場(chǎng)的概率Pnk =
C
k
n
•(
1
3
)k•(
2
3
)n-k，根據(jù)
C
r
n
•
r
n
=
n!
r!(n-r)!
•
r
n
=
(n-1)!
(r-1)!(n-r)!
=
C
r-1
n-1
（r≥1），當(dāng)r=0時(shí)，
C
r
n
•
r
n
=0，可得
n
k=0
k
n
Pnk=
1
3
•( 
2
3
+
1
3
)n-1，計(jì)算求得結(jié)果．
（Ⅲ）根據(jù) n=8時(shí)，Pnk取到最大值，由
C
k
8
•(
1
3
)k•(
2
3
)8-k≥
C
k+1
8
•(
1
3
)k+1•(
2
3
)7-k，且
C
k
8
•(
1
3
)k•(
2
3
)8-k≥
C
k-1
8
•(
1
3
)k-1•(
2
3
)9-k，k∈N，求得k的值．
解答： 解：（Ⅰ）關(guān)于x的方程x2+2bx+c=0有實(shí)根，等價(jià)于△=4b2-4c≥0，即 b2≥c．
故一場(chǎng)比賽中甲獲勝的概率為
∫
1
0
 b 2db
1×1
=
1
3
．
（Ⅱ）設(shè)n場(chǎng)比賽中，甲恰好獲勝k場(chǎng)的概率Pnk =
C
k
n
•(
1
3
)k•(
2
3
)n-k，
∴
n
k=0
k
n
Pnk=
C
0
n
•
0
n
•(
1
3
)0•(
2
3
)n+
C
1
n
•
1
n
•(
1
3
)1•(
2
3
)n-1+…+
C
k
n
•
k
n
(
1
3
)k•(
2
3
)n-k+…+
C
n
n
•
n
n
•(
1
3
)n，
又 
C
r
n
•
r
n
=
n!
r!(n-r)!
•
r
n
=
(n-1)!
(r-1)!(n-r)!
=
C
r-1
n-1
（r≥1），當(dāng)r=0時(shí)，
C
r
n
•
r
n
=0．
∴
n
k=0
k
n
Pnk=
C
0
n-1
•(
1
3
)0•(
2
3
)n-1+
C
1
n-1
•(
1
3
)1•(
2
3
)n-2+…+…+
C
n-1
n-1
•(
1
3
)n-1=
1
3
•( 
2
3
+
1
3
)n-1=
1
3
．
（Ⅲ）∵n=8時(shí)，Pnk =
C
k
8
•(
1
3
)k•(
2
3
)8-k，到最大值若n=8時(shí)，k為何值時(shí)，Pnk取到最大
由=
C
k
8
•(
1
3
)k•(
2
3
)8-k≥
C
k+1
8
•(
1
3
)k+1•(
2
3
)7-k，且
C
k
8
•(
1
3
)k•(
2
3
)8-k≥
C
k-1
8
•(
1
3
)k-1•(
2
3
)9-k，k∈N，
解得 k=2，或 k=3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，等可能事件的概率，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在等比數(shù)列{an}中，若a1=
1
2
，a4=-4，則|a1|+|a2|+…+|an|=（　�。�
A、2n-1-
1
2
B、2n-
3
2
C、4n-1-
1
2
D、4n-
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知sin（A-B）=cosC．
（Ⅰ）若a=3
2
，b=
10
，求c；
（Ⅱ）求
acosC-ccosA
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在△ABC中，BC=2，BC邊上的高AD=1，P是BC邊上任一點(diǎn)，PE∥AB交AC于點(diǎn)E，PF∥AC交AB于點(diǎn)F．
（1）設(shè)BP=x，請(qǐng)寫出用x表示S△PEF的表達(dá)式；
（2）P在BC的什么位置時(shí)，S△PEF取得最大值？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)g（x）=Acos（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示
（1）將函數(shù)g（x）的圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移
π
3
個(gè)單位后得到函數(shù)f（x）的圖象，求函數(shù)f（x）的最大值及最小正周期；
（2）求使f（x）≥2的x的取值范圍的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（a-
1
2
）x2+lnx（a∈R），
（1）若?x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）lnx成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒在直線y=2ax下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且
c
a+b
+
b
a+c
=1，
（1）求角A的大��；
（2）若
c
b
=
2+
3
4
，a=
15
，求b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=asinxcosx-cos2x的圖象過(guò)點(diǎn)（
π
8
，0）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若x、y為共軛復(fù)數(shù)，且（x+y）2-3xyi=4-6i，則|x|+|y|=
 
．

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