Question

11．若函數(shù)f（x）的反函數(shù)記為f^-1（x），已知函數(shù)f（x）=e^x．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F（x）=f^-1（x）-f（x），試判斷函數(shù)F（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）•sinx≥kx，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)數(shù)為0 的方程的根的個(gè)數(shù)即可；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，通過(guò)討論k的范圍確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)F（x）=f^-1（x）-f（x）=lnx-e^x，∴F′（x）=$\frac{1}{x}$-e^x，
令g（x）=1-xe^x，則g′（x）=-（1+x）e^x，
∴函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵x=0時(shí)，g（0）=1＞0，x=1時(shí)，g（1）=1-e＜0，
∴在（0，1）上存在唯一x₀，使得g（x₀）=0，∴F′（x₀）=0，
F（x）在（0，x₀）上遞增，在（x₀，+∞）上遞減，
∴函數(shù)F（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)；（4分）
（Ⅱ） 令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，
而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx）⇒h′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，h′（x）≥0⇒h（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，1≤h（x）≤${e}^{\frac{π}{2}}$，（6分）
當(dāng)k≤1時(shí)，g′（x）≥0，g（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，g（x）≥g（0）=0，符合題意；
當(dāng)k≥${e}^{\frac{π}{2}}$時(shí)，g′（x）≤0⇒g（x）在∈[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減，g（x）≤g（0）=0，與題意不合；     （8分）
當(dāng)1＜k＜${e}^{\frac{π}{2}}$時(shí)，g′（x）為一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，而g′（0）=1-k＜0，g′（ $\frac{π}{2}$）=${e}^{\frac{π}{2}}$-k＞0，
由零點(diǎn)存在性定理，必存在一個(gè)零點(diǎn)x₀，使得g′（x₀）=0，
當(dāng)x∈[0，x₀）時(shí)，g′（x）≤0，從而g（x）在x∈[0，x₀）上單調(diào)遞減，
從而g（x）≤g（0）=0，與題意不合，
綜上所述：k的取值范圍為（-∞，1]（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，是一道中檔題．