Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，g（x）=ax+b．
（1）若a=2，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=ax+b是函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$圖象的切線，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）設(shè)切點(diǎn)（m，lnm-$\frac{1}{m}$），求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得a=$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，lnm-$\frac{1}{m}$=ma+b，即可得到a+b=lnm-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$-1，令$\frac{1}{m}$=t＞0換元，可得a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可得到a+b的最小值．

解答 解：（1）a=2時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{x}$-2x-b，
F′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2，（x＞0），
F′（x）=$\frac{（1-x）（1+2x）}{x}$，
令F′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令F′（x）＜0，解得：x＞1，
故F（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（2）：設(shè)切點(diǎn)（m，lnm-$\frac{1}{m}$），函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
即有切線的斜率為$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，
若直線g（x）=ax+b是函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$圖象的切線，
則a=$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，lnm-$\frac{1}{m}$=ma+b，
即有b=lnm-$\frac{2}{m}$-1，
a+b=lnm-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$-1，
令$\frac{1}{m}$=t＞0，則a+b=-lnt-t+t²-1，
令a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，
則φ′（t）=-$\frac{1}{t}$+2t-1=$\frac{（2t+1）（t-1）}{t}$，
當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
即有t=1時(shí)，φ（t）取得極小值，也為最小值．
則a+b=φ（t）≥φ（1）=-1，
故a+b的最小值為-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和求極值、最值，主要考查構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間求得極值也為最值，屬于中檔題．