Question

如圖，E、F分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點，沿EF將△AEF折起到△A′EF的位置，連接A′B、A′C．
（Ⅰ）求證：平面A′EC⊥平面A′BC；
（Ⅱ）求證：AA′⊥平面A′BC；
（Ⅲ）過EF作一平面EFPQ同時與直線AA′、BC平行設交A′B、A′C分別于P、Q兩點，試指出P、Q的位置，并求截面EFPQ分四面體A′ABC的兩部分的體積比：V_A'AEFPQ：V_PQEFBC．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AC是直角△ABC的直角邊E、F分別是AC、AF中點
∴EF∥BC∵BC⊥AC∴EF⊥AC∵EF⊥A′E
∴BC⊥A′E∵A′E∩AC=E
A′E、AC?平面′'EC
∴BC⊥平面A′EC又∵BC?平面A′BC
∴平面A′EC⊥平面A′BC （5分）；

（Ⅱ）∵BC⊥平面A′ECAA′?平面A′
EC∴BC⊥AA′
又∵EA=EC=EA′∴∠AA′C=90°
∴AA′⊥C∵BC∩A′C=C，BC、A′C?平面A′BC
∴AA′⊥平面A′BC10′

（Ⅲ）取AB、A′C的中點P、Q，∴PQ₌^∥，∵EF₌^∥
∴EF₌^∥PQ∴E、F、P、Q四點共面，易知平面EFPQ
同時與AA′、BC平行．取BC的中點R連PR、FR
設S_△BRF=S，P到平面ABC的距離為h，
∴
∴V_A'AEFPQ：V_PQEFBC=1：1． （15分）
分析：（Ⅰ）要證平面A′EC⊥平面A′BC，只需證明平面A′BC內的直線BC垂直平面A′EC內的兩條相交直線A′E、AC即可證明BC⊥平面A′EC；
（Ⅱ）要證AA′⊥平面A′BC，只需證明直線AA′垂直平面A′BC內的兩條相交直線BC、A′C即可；
（Ⅲ）取AB、A′C的中點P、Q，說明平面EFPQ同時與AA′、BC平行，分別求出截面EFPQ分四面體A′ABC的兩部分的體積比：V_A'AEFPQ：V_PQEFBC．
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．