Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

1

3

，前n項(xiàng)和為S_n，滿足s₁、2s₂、3s₃成等差數(shù)列；
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=2-（

1

1+an

+

1

1-an+1

）），數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得4•

a1(1-q2)

1-q

=a1+3•

a1(1-q3)

1-q

，由此求出a_n=（

1

3

）ⁿ．
（Ⅱ）b_n=2-（

1

1+an

+

1

1-an+1

）=2-（

1

1+( 1 3 )n

+

1

1-( 1 3 )n+1

）=

1

3n+1

-

1

3n+1-1

，從而bn＜

1

3n

-

1

3n+1

，由此能證明T_n＜

1

3

．

解答： （Ⅰ）解：∵S₁、2S₂、3S₃成等差數(shù)列，
∴4S₂=S₁+3S₃，
當(dāng)q=1時，不符合，
當(dāng)q≠1時，得4•

a1(1-q2)

1-q

=a1+3•

a1(1-q3)

1-q

，
由a₁=

1

3

，解得q=

1

3

或q=0（舍），
∴a_n=（

1

3

）ⁿ．
（Ⅱ）證明：b_n=2-（

1

1+an

+

1

1-an+1

）=2-（

1

1+( 1 3 )n

+

1

1-( 1 3 )n+1

）
=2-

1

1+( 1 3 )n

-

1

1-( 1 3 )n+1

=1-

1

1+( 1 3 )n

+1-

1

1-( 1 3 )n+1

=（1-

3n

3n+1

）+（1-

3n+1

3n+1-1

）
=

1

3n+1

-

1

3n+1-1

，
由

1

3n+1

＜

1

3n

，

1

3n+1-1

＞

1

3n+1

，得

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

，
∴bn＜

1

3n

-

1

3n+1

，
從而T_n＜（

1

3

-

1

32

）+（

1

32

-

1

33

）+…+（

1

3n

-

1

3n+1

）=

1

3

-

1

3n+1

＜

1

3

，
∴T_n＜

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．