已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率。它有一個頂點恰好是拋物線=4y的焦點。過該橢圓上任一點PPQx軸,垂足為Q,點CQP的延長線上,且

求動點C的軌跡E的方程;

設橢圓的左右頂點分別為A,B,直線ACC點不同于A,B)與直線交于點R,D為線段RB的中點。試判斷直線CD與曲線E的位置關系,并證明你的結論。

 

【答案】

動點的軌跡的方程為;直線與圓相切.

【解析】

試題分析:求動點C的軌跡E的方程,由題意首先求出橢圓的方程為,設,,由已知,找出之間的關系,利用點在橢圓上,代入即可求出動點C的軌跡E的方程;判斷直線CD與曲線E的位置關系,由動點的軌跡的方程為,主要看圓心到直線距離與半徑之間的關系,因此,主要找直線的方程,設,則,由題意三點共線,得 ,設點的坐標為,利用共線,求出,得點的坐標為,從而得點的坐標為,這樣寫出直線的方程,利用點到直線位置關系,從而可判斷直線CD與曲線E的位置關系.

試題解析:設橢圓C的方程為,則由題意知b = 1,

,,所以橢圓的方程為。(2分)

,,由題意得,即

,代入得,即

即動點的軌跡的方程為。(6分)

,點的坐標為,

三點共線,∴

,,則,∴

∴點的坐標為,點的坐標為,

∴直線的斜率為,(9分)

,∴,∴,

∴直線的方程為,化簡得,

∴圓心到直線的距離,

所以直線與圓相切。(13分)

考點:求軌跡方程,判斷直線與圓的位置關系.

 

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為
2
2
,且橢圓經(jīng)過圓C:x2+y2-4x+2
2
y=0的圓心C.
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1011
,求橢圓的方程.

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253

(1)求橢圓的標準方程和離心率e;
(2)設P為橢圓上第一象限的點,F(xiàn)2為右焦點,若△PF1F2為直角三角形,求△PF1F2的面積.

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已知橢圓的中心在原點,一個焦點F1(0,-2
2
),且離心率e滿足:
2
3
,e,
4
3
成等比數(shù)列.
(1)求橢圓方程;
(2)直線y=x+1與橢圓交于點A,B.求△AOB的面積.

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