Question

20．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=-4+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)M是直線l上任意一點(diǎn)，過M做圓C切線，切點(diǎn)為A、B，求四邊形AMBC面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與普通方程的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
（Ⅱ）求出圓心坐標(biāo)以及圓心到直線的距離，結(jié)合四邊形的面積公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=-4+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
所以圓C的普通方程為（x-3）²+（y+4）²=4．…（2分）
由$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$得ρcosθ+ρsinθ=2，
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程x+y-2=0…（4分）
（Ⅱ）圓心C（3，-4）到直線l：x+y-2=0的距離為d=$\frac{|3-4-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$           …（6分）
由于M是直線l上任意一點(diǎn)，則|MC|≥d=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴四邊形AMBC面積S=2×$\frac{1}{2}$AC•MA=AC$•\sqrt{C{M}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{M{C}^{2}-4}$≥2$\sqrt{jkn1bxi^{2}-4}=\sqrt{2}$
∴四邊形AMBC面積的最小值為$\sqrt{2}$      …（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力．