Question

6．已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4-8|x-\frac{3}{2}|，1≤x≤2}\\{\frac{1}{2}f（\frac{x}{2}），x＞2}\end{array}\right.$，函數(shù)y=xf（x）-6在[1，16]內(nèi)零點(diǎn)之和為（　�。�

• A． $\frac{45}{2}$
• B． 23
• C． $\frac{47}{2}$
• D． 24

Answer 1

分析 由y=0得f（x）=$\frac{6}{x}$，然后分別作出函數(shù)y=f（x）與y=$\frac{6}{x}$的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到函數(shù)零點(diǎn)，問題得以解決．

解答 解：在直角坐標(biāo)系中畫出y=f（x）與y=$\frac{6}{x}$的圖象，如圖所示；
當(dāng)1≤x≤2，4-8|x-$\frac{3}{2}$|=$\frac{6}{x}$，
解得x=$\frac{3}{2}$，
再根據(jù)當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{x}{2}$）可得y=f（x）與y=$\frac{6}{x}$的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為3，6，12
所以$\frac{3}{2}$+3+6+12=$\frac{45}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的問題，根據(jù)方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想．本題難度較大，綜合性較強(qiáng)．