Question

已知集合，其中，表示

的所有不同值的個(gè)數(shù)．

（1）已知集合，，分別求，；

（2）求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）l(P)＝5 ，l(Q)＝6     

（2）對(duì)這樣的集合A，l(A)＝2n－3，所以l(A)的最小值為2n－3．

【解析】

試題分析：（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，

得l(P)＝5 

由2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，

得l(Q)＝6     

（2）不妨設(shè)a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，可得

a₁＋a₂＜a₁＋a₃＜…＜a₁＋a_n＜a₂＋a_n＜a₃＋a_n＜…＜a_n－1＋a_n，

故a_i＋a_j (1≤i＜j≤n)中至少有2n－3個(gè)不同的數(shù)，即l(A)≥2n－3．

事實(shí)上，設(shè)a₁，a₂，a₃，…，a_n成等差數(shù)列，考慮a_i＋a_j (1≤i＜j≤n)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，當(dāng)i＋j≤n時(shí)， a_i＋a_j＝a₁＋a_i＋j－1；當(dāng)i＋j＞n時(shí)， a_i＋a_j＝a_i＋j－n＋a_n；

因此每個(gè)和a_i＋a_j(1≤i＜j≤n)等于a₁＋a_k(2≤k≤n)中的一個(gè)，或者等于a_l＋a_n(2≤l≤n－1)中的一個(gè)．故對(duì)這樣的集合A，l(A)＝2n－3，所以l(A)的最小值為2n－3．

考點(diǎn)：本題主要考查集合的意義，等差數(shù)列的性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：新定義問題，利用新定義集合確定，屬于簡單問題。而求的最小值的方法，則具有一定難度，特別是假設(shè)“排序”難以想到，這是解決問題的關(guān)鍵所在。