Question

1．在直角坐標系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+sin2θ}\\{y=2sinθ+2cosθ}{\;}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），若以該直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線N的極坐標方程為：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（其中t為參數(shù)）．
（1）若曲線N與曲線M只有一個公共點，求t的取值；
（2）當(dāng)t=-4時，求曲線M上的點與曲線N上點的最小距離．

Answer 1

分析 （1）把直線的極坐標方程化為直角坐標方程，曲線C的參數(shù)方程化為普通方程．曲線M與曲線N只有一個交點．分類討論：相切與相交時，結(jié)合圖形即可得出．
（2）當(dāng)t=-4時，求曲線M上的點與曲線N上點的最小距離就是對應(yīng)切線和直線x+y+4=0對應(yīng)的距離．利用平行線之間的距離進行求解即可．

解答 解：∵M的方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+sin2θ\\ y=2sinθ+2cosθ\end{array}\right.$，消去參數(shù)θ，得y²=4x（0≤x≤2），
曲線N的方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
即x+y-t=0，
（1）曲線M與曲線C只有一個交點．
①相切時，將y=-x+t代入y²=4x（0≤x≤2），
得x²-（2t+4）x+t²=0只有一個解，
∴△=（2t+4）²-4t²=0得t=-2，
②?相交時，如圖：當(dāng)直線y=-x+t經(jīng)過點（2，-2$\sqrt{2}$）時，有兩個交點，不滿足條件．
此時t=x+y=2-2$\sqrt{2}$，
當(dāng)直線y=-x+t經(jīng)過點（2，2$\sqrt{2}$）時，有1個交點，滿足條件．
此時t=x+y=2+2$\sqrt{2}$，
則此時若曲線只有一個交點，
則2-2$\sqrt{2}$＜t≤2+2$\sqrt{2}$，
綜上：曲線M與曲線C只有一個交點時t=-2或 2-2$\sqrt{2}$＜t≤2+2$\sqrt{2}$．
（3）當(dāng)t=-4時，直線方程為x+y+4=0，
由（1）知，當(dāng)y=-x+t與拋物線相切時t=-2，對應(yīng)的切線方程為x+y+2=0，
則曲線M上的點與曲線N上點的最小距離即為兩條平行線之間的距離，
即d=$\frac{|4-2|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了把直線的極坐標方程化為直角坐標方程、曲線C的參數(shù)方程化為普通方程、直線與拋物線相切問題，考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．