Question

15．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．點E是PC的中點．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在點F，使CF⊥PA？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明：BE∥平面PAD；
（2）棱PD上存在點F為PD的中點，使CF⊥PA，利用三垂線定理可得結論．

解答 （1）證明：取PD中點Q，連結AQ、EQ．…（1分）
∵E為PC的中點，
∴EQ∥CD且EQ=$\frac{1}{2}$CD．…（2分）
又∵AB∥CD且AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分）
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴BE∥AQ．…（4分）
又∵BE?平面PAD，AQ?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．…（5分）
（2）解：棱PD上存在點F為PD的中點，使CF⊥PA，
∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，
∴AD⊥平面PCD，
∴DP是PA在平面PCD中的射影，
∴PC=DC，PF=DF，
∴CF⊥DP，
∴CF⊥PA．

點評 本題主要考查空間直線和平面平行或垂直的判斷，要求熟練掌握相應的判定定理．考查學生的推理能力．