Question

10．已知函數(shù)f（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x+1，則關(guān)于x的不等式f（2x+1）+f（x+1）＞2的解集為（　�。�

• A． （-$\frac{1}{2017}$，+∞）
• B． （-2017，+∞）
• C． （-$\frac{2}{3}$，+∞）
• D． （-2，+∞）

Answer 1

分析 可先設(shè)g（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x，根據(jù)要求的不等式，可以判斷g（x）的奇偶性及其單調(diào)性，容易求出g（-x）=-g（x），通過求g′（x），并判斷其符號可判斷其單調(diào)性，從而原不等式可變成，g（2x+1）＞g（-x-1），而根據(jù)g（x）的單調(diào)性即可得到關(guān)于x的一元一次不等式，解該不等式即得原不等式的解集．

解答 解：設(shè)g（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x，
則g（-x）=2017^-x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-2017^x=-g（x），
g′（x）=2017^xln2017+$\frac{1}{ln2017•\sqrt{{x}^{2}+1}}$+2017^-xln2017＞0，
可得g（x）在R上單調(diào)遞增；
∴由f（2x+1）+f（x+1）＞2得，g（2x+1）+1+g（x+1）+1＞2；
∴g（2x+1）＞-g（x+1），即為g（2x+1）＞g（-x-1），
得2x+1＞-x-1，
解得x＞-$\frac{2}{3}$，
∴原不等式的解集為（-$\frac{2}{3}$，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查對數(shù)的運(yùn)算，平方差公式，奇函數(shù)的判斷方法，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用，并注意正確求導(dǎo)．