Question

在直角坐標系xOy中，已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1的一個頂點坐標為A（

2

，0），且拋物線y=

1

4

x²的焦點是橢圓C₁的另一個頂點．
（l）求橢圓C₁的方程；
（2）①若直線l：y=kx+m同時與橢圓C₁和曲線C₂：x²+y²=

4

3

相切，求直線l的方程．
②若直線l：y=kx+m與橢圓C₁交于M，N，且直線OM的斜率是k_OM與直線ON的斜率k_ON滿足k_OM+k_ON=4k（k≠0），求證：m²為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1的一個頂點坐標為A（

2

，0），另一個頂點為（0，1），由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）①由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判斷式和橢圓C₁和曲線C₂相切，能求出直線l的方程．
②設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能證明m²為定值

1

2

．

解答： （1）解：∵拋物線y=

1

4

x²的焦點為（0，1），
∴橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1的一個頂點坐標為A（

2

，0），另一個頂點為（0，1），
∴a=

2

，b=1，
∴橢圓C₁的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）①解：由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，（*）
△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）=0，
即2k²-m²+1=0，①
直線l與x2+y2=

4

3

相切，則

4 3

=

|m|

1+k2

，
即m²=

4

3

(1+k2)，②
聯(lián)立①②，得k=±

2

2

，m=±

2

，
故l的方程為y=±

2

2

x±

2

．
②證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由（*）式，得x1+x2=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

，
k_OM+k_ON=

y1

x1

+

y2

x2

=2k+

m(x1+x2)

x1x2

=4k，
解得m²=

1

2

．
∴m²為定值

1

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查實數(shù)的平方為定值的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．