設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列{an}的集合:
① ②
M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù).
(1)若{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,a3=4,S3=18,證明:{Sn}∈W
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為,求M的取值范圍;
(3)設(shè)數(shù)列{cn}的各項(xiàng)均為正整數(shù),且
解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d,則a1+2d=4,3a1+3d=18,
解得a1=8,d=-2,
所以
由
=-1<0
得適合條件①;又
所以當(dāng)n=4或5時(shí),Sn取得最大值20,即Sn≤20,適合條件②
綜上,{Sn}∈W
(2)解:因?yàn)?sub>
所以當(dāng)n≥3時(shí),,此時(shí)數(shù)列{bn}單調(diào)遞減;
當(dāng)n=1,2時(shí),,即b1<b2<b3,
因此數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)是b3=7
所以M≥7
(3)解:假設(shè)存在正整數(shù)k,使得成立
由數(shù)列{cn}的各項(xiàng)均為正整數(shù),可得
因?yàn)?sub>
由
因?yàn)?sub>
依次類推,可得
設(shè)
這顯然與數(shù)列{cn}的各項(xiàng)均為正整數(shù)矛盾!
所以假設(shè)不成立,即對(duì)于任意n∈N*,都有成立
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