【題目】已知橢圓Cab0)的焦距為2,且過點.

1)求橢圓C的方程;

2)已知△BMN是橢圓C的內(nèi)接三角形,若坐標原點O為△BMN的重心,求點O到直線MN距離的最小值.

【答案】12

【解析】

1)由題意焦距的值可得c的值,再由橢圓過點,及ab,c之間的關(guān)系求出a,b的值,進而求出橢圓的方程;

2)分B的縱坐標為0和不為0兩種情況討論,設B的坐標,由O是三角形的重心可得MN的中點的坐標,設MN的坐標,代入橢圓方程兩式相減可得直線MN的斜率,求出直線MN的方程,求出O到直線MN的距離的表達式,再由B的縱坐標的范圍求出d的取值范圍,進而求出d的最小值.

解:(1)由題意可得:橢圓的焦距為2,,又橢圓過點

,解得:a24,b23,

所以橢圓的方程為:1

2)設B,記線段MN中點D,

因為OBMN的重心,所以2,則點D的坐標為:,

n0,則|m|2,此時直線MNx軸垂直,

故原點O到直線MN的距離為,即為1

n0,此時直線MN的斜率存在,

Mx1,y1),Nx2,y2),則x1+x2=﹣m,y1+y2=﹣n

1,1

兩式相減0,

可得:kMN,

故直線MN的方程為:yx,即6mx+8ny+3m2+4n20,

則點O到直線MN的距離d,

1,代入得d,

因為0n23,所以dmin,又1,

故原點O到直線MN的距離的最小值為.

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