Question

19．若f（x）=lg（x²+20x）-lg（8x-6a-3）有唯一的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，結(jié)合對數(shù)的運算法則，得到方程6a=-x²-12x-3在x∈（-∞，-20）∪（0，+∞）時有唯一解，然后采用變量分離求函數(shù)值域的方法，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：若f（x）=lg（x²+20x）-lg（8x-6a-3）有唯一的零點，
則等價為lg（x²+20x）-lg（8x-6a-3）=0，即lg（x²+20x）=lg（8x-6a-3），
等價于$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+20x=8x-6a-3}\\{x{\;}^{2}+20x＞0}\end{array}\right.$⇒6a=-x²-12x-3在x∈（-∞，-20）∪（0，+∞）時有唯一解
記F（x）=-x²-12x-3=-（x+6）²+33
當(dāng)x∈（-∞，-20）時，F(xiàn)（x）≥F（-20）=-163；
當(dāng)x∈（0，+∞））時，F(xiàn)（x）＜F（0）=-3
故當(dāng)x∈（0，8）時，F(xiàn)（x）∈（-163，-3]，且函數(shù)是單值對應(yīng)
所以6a∈[-163，-3）時，原方程有唯一解，得a∈[-$\frac{163}{6}$，-$\frac{1}{2}$），
即實數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{163}{6}$，-$\frac{1}{2}$）

點評 本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用，考查了含有對數(shù)的方程的解法，以及方程根的存在性等知識點，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．解題時應(yīng)該注意：對數(shù)的真數(shù)要大于零．