Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

4

x²+xsinx+cosx，x∈[-π，π]．
（1）判斷函數(shù)y=f（x）奇偶性，并求其單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系；利用偶函數(shù)的形狀以及求導(dǎo)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用（1）求的單調(diào)區(qū)間畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求滿足條件的b的范圍．

解答： 解：（1）由已知，函數(shù)的定義域定義原點對稱，并且f（-x）=-

1

4

x2-xsin（-x）+cos（-x）=-

1

4

x²+xsinx+cosx=f（x），所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
當(dāng)x∈[0，π]時，f′（x）=-

1

2

x+sinx+xcosx-sinx=x（cosx-

1

2

）；f′（x）＞0時，cosx＞

1

2

，x∈（0，

π

3

）；
f′（x）＜0時，cosx＜

1

2

，x∈（

π

3

，π）；
又f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）的遞增期間為[-π，-

π

3

]，[0，

π

3

]；
遞減區(qū)間為：（-

π

3

，0），（

π

3

，π）；
（2）由（1）畫出函數(shù)圖象如圖

曲線y=f（x）與直線y=b有兩個交點，f（π）≤b≤f（0）或者b=f（

π

3

）時有兩個交點，
所以-

π2

4

≤b＜1或b=-

π2

36

+

3 π

6

+

1

2

時曲線y=f（x）與直線y=b有兩個交點．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值的方法；數(shù)形結(jié)合是解答本題的技巧，注意體會．