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18.已知函數(shù)f(x)=2sin(2ωx+\frac{π}{6})+1(其中0<ω<2),若直線x=\frac{π}{6}是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸.
(1)求ω及f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)在x∈[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]上的單調(diào)遞減區(qū)間.
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+a在區(qū)間[{0,\frac{π}{2}}]上的圖象與x軸沒有交點,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得ω,可得函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的周期性,求得f(x)的最小正周期.
(2)利用弦函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)f(x)在x∈[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]上的單調(diào)減區(qū)間.
(3)利用正弦函數(shù)的定義域和值域,求得實數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(1)由題可知:2ω•\frac{π}{6}+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2},故有ω=3k+1,k∈Z,
又∵0<ω<1,∴ω=1,f(x)=2sin(2x+\frac{π}{6})+1,由此可得函數(shù)的周期為T=π.
(2)令\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}\frac{3π}{2}+2kπ,可得\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ,k∈Z,
x∈[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}],故函數(shù)f(x)在x∈[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]上的單調(diào)減區(qū)間為[{-\frac{π}{2},-\frac{π}{3}}][{\frac{π}{6},\frac{π}{2}}]
(3)令g(x)=0得g(x)=f(x)+a=0可得a=-1-2sin(2x+\frac{π}{6}),
x∈[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]上,2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6},\frac{7π}{6}],
∴sin(2x+\frac{π}{6})∈[-\frac{1}{2},1],
∴-1-2sin(2x+\frac{π}{6})在區(qū)間[0,\frac{π}{2}]上的值域為[-3,0].
為使函數(shù)g(x)=f(x)+a在區(qū)間[{0,\frac{π}{2}}]上的圖象與x軸沒有交點,則實數(shù)a的取值范圍為a<-3或a>0.

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性、正弦函數(shù)的周期性、正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.

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