分析 (1)利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得ω,可得函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的周期性,求得f(x)的最小正周期.
(2)利用弦函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)f(x)在x∈[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]上的單調(diào)減區(qū)間.
(3)利用正弦函數(shù)的定義域和值域,求得實數(shù)a的取值范圍.
解答 解:(1)由題可知:2ω•\frac{π}{6}+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2},故有ω=3k+1,k∈Z,
又∵0<ω<1,∴ω=1,f(x)=2sin(2x+\frac{π}{6})+1,由此可得函數(shù)的周期為T=π.
(2)令\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ,可得\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ,k∈Z,
∵x∈[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}],故函數(shù)f(x)在x∈[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]上的單調(diào)減區(qū)間為[{-\frac{π}{2},-\frac{π}{3}}]和[{\frac{π}{6},\frac{π}{2}}].
(3)令g(x)=0得g(x)=f(x)+a=0可得a=-1-2sin(2x+\frac{π}{6}),
在x∈[{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}]上,2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6},\frac{7π}{6}],
∴sin(2x+\frac{π}{6})∈[-\frac{1}{2},1],
∴-1-2sin(2x+\frac{π}{6})在區(qū)間[0,\frac{π}{2}]上的值域為[-3,0].
為使函數(shù)g(x)=f(x)+a在區(qū)間[{0,\frac{π}{2}}]上的圖象與x軸沒有交點,則實數(shù)a的取值范圍為a<-3或a>0.
點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性、正弦函數(shù)的周期性、正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1組 | B. | 2組 | C. | 3組 | D. | 4組 |
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A. | -1 | B. | 2 | C. | -\frac{{\sqrt{5}}}{5} | D. | \frac{{2\sqrt{5}}}{5} |
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A. | 4 | B. | 5 | C. | 6 | D. | 7 |
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A. | a,b都為偶數(shù) | B. | a,b不為偶數(shù) | ||
C. | a,b都不為偶數(shù) | D. | a,b中有一個不為偶數(shù) |
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A. | π | B. | 4π | C. | 9π | D. | 16π |
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