（12分）已知函數(shù)（）.
①當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
②設(shè)是的兩個極值點，是的一個零點.證明：存在實數(shù)，使得按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求.

①.②存在實數(shù)滿足題意，且.

解析試題分析：（1）將a，b的值代入后對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值等于該點的切線的斜率，可得答案．
（2）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0解出x的值，然后根據(jù)x3是f（x）的一個零點可得到x3=b，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到答案．
解：①當(dāng)時，，故，又，
所以點處的切線方程為：.
②證明：因為=，由于，故，
所以的兩個極值點為，不妨設(shè)，，
因為，且是的一個零點，故，
由于，故，故，又，
故=，此時依次成等差數(shù)列，
所以存在實數(shù)滿足題意，且.
考點：本題主要考查函數(shù)的極值概念、導(dǎo)數(shù)運算法則、切線方程、導(dǎo)線應(yīng)用、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查抽象概括、推理論證能力和創(chuàng)新意識．
點評：對于導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用問題，對于導(dǎo)數(shù)的幾何意義是考試的必考的一個知識點，要引起重視，同時對于極值點的導(dǎo)數(shù)為零是該點為極值點的必要不充分條件。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù),其中常數(shù) .
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極大值；
（2）試討論在區(qū)間上的單調(diào)性;
（3）當(dāng)時,曲線上總存在相異兩點,
,使得曲線在點處的切線互相平行,求的取值范圍.

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（本小題滿分12分）求函數(shù)f(x)=- 2的極值.

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（12分）已知函數(shù)有極值，且曲線處的切線斜率為3.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值.

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已知函數(shù)是的一個極值點.
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍。

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（本題12分）
已知函有極值，且曲線處的切線斜率為3.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求在[－4，1]上的最大值和最小值。
（3）函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.

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（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，且對于任意實數(shù)，恒有．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）函數(shù)有幾個零點？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分） 已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時，函數(shù)圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）求證：（其中，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)　（為實常數(shù)）.
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上無極值，求的取值范圍；
（Ⅲ）已知且，求證: .

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