（本小題滿分高☆考♂資♀源*網(wǎng)12分）

設(shè)橢圓，拋物線。

若經(jīng)過的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的離心率；

設(shè)A（0，b），,又M、N為與不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，若△AMN的垂心為，且△QMN的重心在上，求橢圓和拋物線的方程。

【解析】考查橢圓和拋物線的定義、基本量，通過交點(diǎn)三角形來確認(rèn)方程。

（1）由已知橢圓焦點(diǎn)(c,0)在拋物線上，可得：，由

。

(2)由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè),由的垂心為B，有

。

      由點(diǎn)在拋物線上，，解得：

故，得重心坐標(biāo).

     由重心在拋物線上得：，，又因?yàn)镸、N在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線方程為。

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設(shè)函數(shù)。

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間。

（2）若在上的最大值為，求a的值。

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證明以下命題：

對(duì)任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b<c)，使得成等差數(shù)列。

存在無窮多個(gè)互不相似的三角形△，其邊長為正整數(shù)且成等差數(shù)列。

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求的分布列；

求的數(shù)學(xué)期望。

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