Question

9．已知f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+1}$，x∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率為5，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為-a，求a的值；
（3）當(dāng)x＞-1時，（1+x）ln（1+x）+（lnk-1）x+lnk＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（0），求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，求出a的值即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為-lnk＜$ln（{1+x}）-\frac{x}{x+1}$，令a=1，則f（x）=$ln（{1+x}）-\frac{x}{x+1}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：（1）∵$f'（x）=\frac{x+1-a}{{{{（{x+1}）}^2}}}$，∴f'（0）=1-a=5，∴a=-4．
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），$f'（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{a}{{{{（{x+1}）}^2}}}$=$\frac{x+1-a}{{{{（{x+1}）}^2}}}$，
令f'（x）=0，則x=a-1，
①當(dāng)a-1≤-1，即a≤0時，在（-1，+∞）上，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，無最小值．
②當(dāng)a-1＞-1，即a＞0時，在（-1，a-1）上，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
在（a-1，+∞）上，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的最小值為f（a-1）=lna-a+1=-a，解得$a=\frac{1}{e}$．
綜上，若函數(shù)f（x）的最小值為-a，則$a=\frac{1}{e}$．
（3）由（1+x）ln（1+x）+（lnk-1）x+lnk＞0，
得，$ln（{1+x}）-\frac{x}{x+1}$+lnk＞0，即-lnk＜$ln（{1+x}）-\frac{x}{x+1}$，
令a=1，則f（x）=$ln（{1+x}）-\frac{x}{x+1}$，
由（1）可知，當(dāng)a=1時，f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上，f（x）單調(diào)遞增，
所以在（-1，+∞）上，f（x）_min=f（0）=0，所以-lnk＜0，即k＞1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．